期权定价 on 斐康明

00 期权定价模型有什么用？——BS 公式背后的研究框架

Sat, 03 May 2025 18:54:27 +0200

本文是「期权定价」系列的序言。读完之后，你会知道：期权定价模型的作用是什么；以及 Black–Scholes–Merton 模型如何把期权问题组织成一套系统的研究框架。

符号约定

本系列文章统一使用以下核心符号。模型专属参数在首次出现时另行定义；首次出现时写出完整 arguments，上下文固定后才省略。

Details

时间、合约与状态

符号	含义
$t$	observation / valuation time
$T$	expiry time；对单张合约固定，对 volatility surface 可变
$\tau:=T-t$	time to maturity
$K$	strike；对单张合约固定，对 volatility surface 可变
$S=(S_u)_{u\ge0}$	标的资产价格过程
$S_t$	标的资产在时刻 $t$ 的价格
$s$	pricing function 中的 spot state argument
$\Phi$	payoff function
$H:=\Phi(S_T;K)$	到期于 $T$ 的 terminal claim

利率、远期与波动率

符号	含义
$r,q$	BS 特例中的常数无风险利率与连续股息收益率
$r(u),q(u)$	确定性利率与连续股息收益率曲线
$D(t,T)$	discount factor，$D(t,T)=\exp(-\int_t^T r(u)\,du)$
$F_t(T)$	时刻 $t$、到期于 $T$ 的 forward price
$k_t(K,T)$	forward log-moneyness，$k_t(K,T)=\log(K/F_t(T))$
$\sigma$	BS 中的常数 volatility input
$\sigma_{\mathrm{loc}}(t,s)$	local volatility function
$v_t$	instantaneous variance；instantaneous volatility 为 $\sqrt{v_t}$
$\sigma_{\mathrm{imp}}(t;K,T)$	时刻 $t$、合约 $(K,T)$ 的 BS implied volatility

定价、测度与风险

01 衍生品价格从何而来？——复制、无套利与定价测度

Sat, 03 May 2025 18:54:27 +0200

序言把期权定价拆成了一条完整的研究链：先规定市场如何变化，再讨论能否复制 payoff，随后才有价格机制、校准与风险分解。本文只处理这条链的第一段：

$$ \boxed{ \text{market model} \longrightarrow \text{admissible self-financing strategy} \longrightarrow \text{replication} \longrightarrow \text{no-arbitrage} \longrightarrow \text{martingale measure} \longrightarrow \text{pricing operator}. } $$

这条顺序不能压缩成“在 risk-neutral measure 下取期望”。一个 terminal payoff 首先只是未来现金流；只有相对于某个市场、某组可交易资产和某类合法策略，它才可能获得 replication cost。只有再加入 no-arbitrage，replication cost 才成为唯一的无套利价格。Martingale measure 则把这套经济论证改写成条件期望，最终在额外的 Markov 与 regularity 条件下变成 PDE 或其他可求解的 forward problem。

本文沿用本系列的统一符号：

$$ H:=\Phi(S_T;K), \qquad V_t:=V(t,S_t;K,T;\boldsymbol\vartheta), $$

其中 $H$ 是到期于 $T$ 的 claim，$V_t$ 是该 claim 在时刻 $t$ 的 model value。$\Pi_t$ 始终表示交易组合的总价值；无套利价格集合记为 $\mathcal P^{NA}(H)$，不使用 $\Pi$ 表示价格集合。

来源边界：本文为了与后续 stochastic models 和 pricing PDE 衔接，主要使用连续时间记号。但当前项目中关于 FTAP、attainability 与 completeness 的完整正式来源主要是 Schweizer–Farkas 的有限离散时间版本。涉及 continuous-time NFLVR、一般 semimartingale admissibility、formal Feynman–Kac theorem 与 general change of numeraire 的地方，会明确标记为来源缺口，而不会把有限离散时间定理无条件外推。

02 市场报价如何变成模型标价？——波动率曲面、正向定价与反向校准

Sat, 03 May 2025 18:54:27 +0200

《01 衍生品价格从何而来？》第 6 节最终交付的是一个逐合约的 risk-neutral pricing operator：

$$ V_t^i \mathrel{=} \mathcal M^{\mathbb Q} (\mathbf x_{t,i};\boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q}) \in\mathbb R, $$

也就是说，只要给定模型、参数、第 $i$ 个合约的当前状态与合约条件，我们原则上已经知道怎样得到一个标量期权价格。后文为校准而把多个合约输出堆叠成向量时，那只是这张逐合约 map 的局部向量化。

但市场并不会直接告诉我们

$$ \boldsymbol\vartheta^{\mathbb Q} $$

是多少。真实市场提供的是不同 strike、不同 maturity 上的一组 bid、ask 与成交价格。于是，一个数学上已经定义好的 pricing model 要真正进入交易，还必须补上另一张 map：

$$ \text{market quotes} \longrightarrow \widehat{\boldsymbol\vartheta}^{\mathbb Q}. $$

这就是 calibration。

因此，本篇不再回答“期权为什么能够被定价”，而只处理上一篇留下的接口问题：

一个已经数学定义好的定价模型，如何与真实市场上的期权价格连接起来？

这条链会依次经过 market target、forward solver、inverse problem、identifiability，最后把一个可重复的 calibration map 交给下一篇的 risk / PnL 分解。

1. 需要连接的模型对象与市场对象分别是什么？

Calibration 之前首先要区分两个经常使用相同参数名、却回答完全不同问题的对象。

假设历史数据记为

$$ \mathcal D_t. $$

一个 physical-measure estimator 可以形式化写成

03 期权组合的 PnL 如何分解？——Greeks、对冲与残差

Sat, 03 May 2025 18:54:27 +0200

《01 衍生品价格从何而来？》从 market dynamics、replication 与 no-arbitrage 出发，得到给定模型和参数后的 pricing operator；《02 市场报价如何变成模型标价？》把真实市场上的 option quotes 输入这个 operator，通过 calibration 得到当前的 risk-neutral parameters 与 model mark。

因此，到这一篇开始时，我们已经有

$$ \widehat{\boldsymbol\vartheta}^{\mathbb Q}_t \mathrel{=} \mathcal C(\boldsymbol\eta_t), \qquad V_t^i \mathrel{=} \mathcal M^{\mathbb Q} \!\left( \mathbf z_{t,i}; \widehat{\boldsymbol\vartheta}^{\mathbb Q}_t \right). $$

这里 $\boldsymbol\eta_t=(\mathbf y_t,\mathbf a_t)$ 是第二篇第 6 节定义的完整 calibration input，$\mathbf z_{t,i}$ 是第 $i$ 个合约直接使用的 market-state vector，而 $V_t^i\in\mathbb R$ 是该合约的标量 mark。第二篇结束于“当前这些衍生品如何被模型标价”；这一篇的问题则是：

当市场从 $t$ 走到 $t+\varepsilon$ 后，这些价格为什么变化？哪些变化可以被 hedge？最终没有解释掉的 PnL 又意味着什么？

这一步是 theory → calibration → risk / hedging 的最后一个接口，也是 Greeks 真正获得交易含义的地方。

The Volatility Surface

Thu, 07 Dec 2023 22:14:50 +0100

简单记录第一次看 The Volatility Surface 时推导有问题的部分。

(P16) 给定下列等式：

$$ \begin{gathered} \frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2} v S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}+ \rho \eta v S \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v}+\frac{1}{2} \eta^2 v \frac{\partial^2 V}{\partial v^2}+r S \frac{\partial V}{\partial S}-r V -\lambda(v-\bar{v}) \frac{\partial V}{\partial v}=0 \end{gathered} $$$$ x=\ln \left(F_{t, T} / K\right)=\ln \left(S e^{r \tau} / K\right) , $$$$ \begin{gathered} -\frac{\partial C}{\partial \tau}+\frac{1}{2} v \frac{\partial^2 C}{\partial x^2}-\frac{1}{2} v \frac{\partial C}{\partial x}+\frac{1}{2} \eta^2 v \frac{\partial^2 C}{\partial v^2}+\rho \eta v \frac{\partial^2 C}{\partial x \partial v}-\lambda(v-\bar{v}) \frac{\partial V}{\partial v}=0 \end{gathered} $$

一开始看书时没明白 $r S \frac{\partial V}{\partial S}-r V $ 这项是怎么被消去的。看了这个回答之后才发现我没把当期价格$V$表示成终期价格$C$：$e^{-r \tau} C(x, \nu, \tau)=V(S, \nu, t)$，所以一开始推不出书上的式子。