概率与随机过程 on 斐康明

基于特征函数推导概率分布函数

Fri, 22 Mar 2024 14:59:52 +0100

引言

$$ F(x) = \frac {1}{2} + \frac {1} {2\pi}\int ^{\infty} _{0} \frac {e^{itx} \phi(-t) - e^{-itx}\phi(t)} {it} \text{d}t, $$

其中，$F(x)=F_Z(x)$是关于随机变量$Z$的概率分布函数，$\phi(t)=\phi_Z(t) :=\mathbb{E}[e^{itZ}] = \int^{+\infty} _{-\infty}e^{itz}\text{d}F(z)$ 是关于随机变量$Z$的特征函数，$i:=\sqrt{-1}$。

然而，这节课的课件里没有这个表达式的推导过程。为了理解这个式子从何而来，笔者找到了这篇文章¹，将推导思路记了下来，写作本文。

为简化符号，下文将继续省略概率分布函数、特征函数关于随机变量的下标。

另外，笔者不确定下文中自己对「为什么可以交换积分次序」的证明是对是错。如果有大佬能指出其中的问题，那就在此提前感谢了。

推导过程

$$ \begin{align} \text{I}&= \frac {1} {\pi}\int ^\lambda _{\varepsilon} \frac {e^{itx} \phi(-t) - e^{-itx}\phi(t)} {it} \text{d}t \nonumber \\\ &= \frac {1} {\pi} \int ^\lambda _{\varepsilon} \frac {e^{itx} \int^{+\infty} _{-\infty} e^{-itz} \text{d}F(z) - e^{-itx}\int^{+\infty} _{-\infty}e^{itz}\text{d}F(z)} {it} \text{d}t \nonumber \\\ &= \frac{1}{\pi} \int ^\lambda _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {e^{i[t(x-z)]}- e^{i[-t(x-z)]}} {it}\text{d}F(z) \text{d}t \\\ &\xlongequal{\text{使用欧拉公式}} \frac{2}{\pi} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}F(z) \text{d}t \\\ &\xlongequal{\text{积分换序}}\int ^{+\infty} _{-\infty} \text{d}F(z) \frac{2}{\pi} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}t \end{align} $$

如何从(1)式推出(2)式？

这里，从$(1)$式推出$(2)$式需使用欧拉公式（即$e^{iu}=\cos(u)+i\sin(u), \forall u \in \mathbb{R}$）展开$e^{i[t(x-z)]}$及$e^{i[-t(x-z)]}$即可： $$ \begin{align*} (1) 式 &=\frac{1}{\pi} \int ^\lambda _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {\cos(t(x-z)) + i\sin(t(x-z)) -\cos(-t(x-z)) - i\sin(-t(x-z))}{it} \text{d}F(z) \text{d}t \\\ &= \frac{2}{\pi} \int ^{\lambda} _{\varepsilon} \int^{+\infty} _{-\infty} \frac {\sin(t(x-z))}{t} \text{d}F(z) \text{d}t \end{align*}. $$

金融数学中sigma代数的直观含义

Tue, 16 May 2023 14:31:37 +0800

sigma 代数表示的事件域代表每个阶段所知信息的多寡

简单来说，sigma 代数刻画的事件域 $\mathcal F$ 包含了一系列划分后的集合，后文称作「分类」，which 可以被我们用来对样本空间 $\Omega$ 中的样本路径 $\omega$ 进行归类。这些分类，实际上表示我们对于当前样本路径的了解程度：我们在某一阶段 $T$ 所知道的信息越多，这一阶段的事件域 $\mathcal F _T$ 所包含的元素就越多，表示我们 $\omega$ 所能采用的分类也就越多。

这些分类是怎样描述「所知道的信息」的？一种可行的思路是思路是，对于某个随机过程，我们会面临一条事前确定的样本路径 $\omega_i$ 。然而，尽管这条样本路径是已经被「固定」的，但我们并不知道 $\omega_i$ 是 $\Omega$ 中的哪一个 $\omega$ ——我们仅能知道，对于给定的 $\Omega$ 的某个子集，$\omega_i$ 是不是在这个子集里面。而前一句中能够被判断是否包含 $\omega_i$ 的这些 $\Omega$ 的子集，就是我们在第一段中提到的，事件域 $\mathcal F$ 所包含的「分类」。如果对集合的划分越精细，「分类」就越多，表示我们知道的信息就更多。

一个例子

对于分类如何刻画信息，现在就来举个直观的例子。假设我现在要扔一枚质地均匀的硬币，扔个 2 次。将硬币的某一面记作正面，与其相反的一面记作反面。将「硬币投出了正面」记作 H （假设其可能性为 $p,p>0$ ），将「硬币投出了反面」记作 T （假设其可能性为 0">$q, q=1-p>0$ ）。以一串序列 $\omega$ （其中 $\omega=\omega_1\omega_2$ ，的可能取值为或$\omega_i的可能取值为H或T$ ）列出所有可能发生的结果，便可得样本空间 $\Omega = \lbrace \text{HH, HT, TH, TT}\rbrace.$

再定义一个随机变量 $S$ ，用于表示股票价格：

$$ \begin{align} S_0(\omega) &= 4, \forall \omega \in \Omega \\\\ S_1(\omega) &= \begin{cases} 8, & 如果 \omega_1=H \\ 2, & 如果 \omega_1=T \\ \end{cases} \\\\ S_2(\omega) &= \begin{cases} 16, & 如果 \omega_1=\omega_2=H \\ 4, & 如果 \omega_1\neq \omega_2 \\ 1, & 如果 \omega_1=\omega_2=T \end{cases} \end{align} $$

接下来，假设我们只能观察到 $S(\omega)$ ，而不能直接看到 $\omega$ 是什么。那么接下来，我们便可以用 $\mathcal F$ 刻画该随机过程中所有的信息了。

蒙特卡罗估计简介

Thu, 20 Oct 2022 21:50:02 +0800

本文是对《金融工程中的蒙特卡罗方法》一书的读书笔记。

蒙特卡洛原理

蒙特卡洛方法是什么？

蒙特卡罗方法是一种用于模拟随机现象，以求得事件的概率的统计模拟方法。借助测度论的语言，我们可对概率论做一种公理化定义¹，将随机试验中随机发生的事件与一个集合对应起来（这个集合包含了事件发生时的所有可能结果），将总体也与一个集合对应起来（这个集合包含了随机试验的所有可能结果），从而将概率定义为：

$$某事件的概率 := \frac{该事件对应集合的容量}{总体对应集合的容量}$$

确定了这个定义之后，我们便可以通过计算事件对应集合的容量与总体对应集合的容值，计算某个事件的概率——而实际上蒙特卡罗方法就是这么做的。比如，我们现在想要计算某个事件发生的概率。那么，我们可以做的是，在所有可能结果组成的总体中随机抽样，然后计算落入事件对应集合的样本点所占总体的比例，以此比例「估计」事件对应集合的容量。在这一过程中，大数定律保证了这个估计会随着抽样的增加而收敛于真实值²，中心极限定理则给出了在有限次抽样下估计误差的可能幅度。

$$ \alpha = \int^1_0f(x) \mathop{}\!\mathrm{d}x. $$$$ \hat \alpha _n = \frac1n \sum^n_{i=1}f(U_i). $$

如果函数 $f$ 满足一些特定性质，我们就能得到一个误差较低的 $\alpha$ 估计值，并且可以显式地求出这个估计的误差值。

$$ 当\ n \to \infty \ 时,\ \hat \alpha_n \stackrel{a.s.} \longrightarrow \alpha. $$$$ \sigma_f^2 = \int^1_0 (f(x)-\alpha)^2 \mathop{}\!\mathrm{d}x. $$$$ s_f = \sqrt {\frac 1 {n-1} \sum^n_{i=1} (f(U_i) - \hat \alpha_i)^2}. $$

至此，我们得到一个误差较低的 $\hat \alpha _n$ 估计值，以及本次估计的误差值 $s_f$。

蒙特卡洛估计的误差有多大？

在上一小节里，我们曾提到，蒙特卡洛估计中的误差值近似服从于 $\text{Normal}(0, {\sigma_f^2}/{ n})$。现在让我们进一步分析蒙特卡洛估计误差的分布。

考察这个分布中的标准差 ${\sigma_f}/{\sqrt n}$，容易知道，若想在原有的基础上减少一半的标准差，就需要相当于原有样本点 4 倍数量的样本点；如果想要增加一个数量级的精度，就需要原有基础上 100 倍数量的样本点。更准确地来说，蒙特卡洛估计的误差以 $O(n^{-1/2})$ 的速度收敛。

基于测度论的概率论基础

Thu, 14 Jul 2022 17:45:55 +0800

本文介绍了概率空间$ ( \Omega, \mathcal{F}, {P} )$ 中 $\Omega, \mathcal F, P$ ，尤其是 $\mathcal F$ 的含义——事件域 $\mathcal F$ 包含了一系列划分后的集合，which 可以被我们用来对样本空间 $\Omega$ 中的样本路径 $\omega$ 进行归类。这些分类，实际上表示我们对于当前样本路径的了解程度：我们在某一阶段 $T$ 所知道的信息越多，这一阶段的事件域 $\mathcal F _T$ 所包含的元素就越多，表示我们对于 $\omega$ 所能选取的划分也就越多。

1. 描述样本空间 $\Omega$ 及其子集

$$ \Omega = \lbrace \text{HH, HT, TH, TT}\rbrace. \\ $$$$ C_1=\lbrace第1次掷币的结果是正面\rbrace =\lbrace \text{HH, HT}\rbrace, \\ C_2=\lbrace第1次掷币的结果是反面\rbrace =\lbrace\text{TH, TT}\rbrace . \\ $$

根据注释1¹中对划分的定义，不难验证， $ C_1\cap C_2=\varnothing$ 且 $C_1 \cup C_2 = \Omega$，所以 $\lbrace \text{HH, HT}\rbrace, \lbrace \text{TH, TT}\rbrace$ 是 $\Omega$ 的一个划分，而第1次掷币的结果是否是正面便是我们关心的事件。