从特征函数反演到 Fourier 与 FFT 期权定价

Fri, 22 Mar 2024 14:59:52 +0100

引言

这篇文章记录了如何使用特征函数及 FFT 为期权定价。整篇文章的起点是特征函数 $\phi_X(u)$。它包含了随机变量 $X_T$ 的全部分布信息，因此即使概率密度或期权价格写不出来，也可以从特征函数把需要的量反演回来。模型换成 Black–Scholes、Merton 或 Heston 时，主要改变的是 $\phi_X$；后面的定价步骤基本不变。下文统一记

$$ \phi_X(u)=\mathbb E[e^{iuX}],\qquad X_T=\log S_T. $$

$r$、$q$ 和 $T$ 分别表示无风险利率、连续股息率和到期时间。

从特征函数到价格有两条相连的路。第一条先用 Gil–Pelaez 公式求 $X_T$ 的尾概率，再把看涨期权拆成两个尾概率。第二条直接处理价格：先用 Carr–Madan 的阻尼让价格关于对数行权价可积，再做 Fourier 反演。只算少数行权价时，可以逐点做数值积分；需要同一期限下的一整条价格曲线时，则把同一组离散求和写成 FFT。直接积分和 FFT 因而不是两套定价原理，只是同一反演公式的两种计算方式。

第一条路可以压缩成

$$ \phi_X(u) \xrightarrow{\text{Gil--Pelaez}} \left\{ \mathbb Q(X_T>\log K),\, \mathbb Q^S(X_T>\log K) \right\}, $$

再代入

$$ C(K,T) =S_0e^{-qT}\mathbb Q^S(X_T>\log K) -Ke^{-rT}\mathbb Q(X_T>\log K). $$

第二条路先由特征函数构造 Carr–Madan 的被积函数

$$ \psi(v)= \frac{e^{-rT}\phi_X\!\left(v-i(\alpha+1)\right)} {\alpha^2+\alpha-v^2+i(2\alpha+1)v}, $$

然后直接反演价格：

$$ C(k)=\frac{e^{-\alpha k}}{\pi} \int_0^\infty \operatorname{Re}\!\left(e^{-ivk}\psi(v)\right)\,\mathrm dv, \qquad k=\log K. $$

把最后这个积分离散成求和后，对一个 $k$ 逐项相加就是直接积分；把 $k$ 排成等距网格并同时计算整组求和，就是 FFT。

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