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Mathematical Foundations for Finance: Handbook

Mon, 16 Sep 2024 00:00:00 +0000

This reference guide follows one continuous line of reasoning:

$$\text{information} \longrightarrow \text{trading} \longrightarrow \text{no arbitrage} \longrightarrow \text{martingale measures} \longrightarrow \text{replication}$$$$\text{replication} \longrightarrow \text{stochastic calculus} \longrightarrow \text{Black-Scholes}.$$

The primary source is M. Schweizer and E. W. Farkas, Lecture Notes: Mathematical Foundations for Finance, version December 22, 2022, abbreviated below as LN. The weekly exercises, solutions, and exam simulation are from ETH Zürich, Fall 2023, abbreviated as ES 1-11 and SE. Definitions, theorem statements, and proof structures attributed to these sources are paraphrased. Paragraphs labelled Interpretation, Study note, Worked example, or Pitfall are supplementary explanations added for this guide.

随机模拟与 SDE 数值解

Wed, 15 May 2024 12:00:00 +0200

随机模拟从均匀随机数出发，经分布变换得到目标样本，再用样本计算期望或驱动随机过程：

$$ \text{均匀随机数} \longrightarrow \text{目标分布} \longrightarrow \text{期望与误差} \longrightarrow \text{随机过程} \longrightarrow \text{SDE 的数值解}. $$

前半段讨论样本的生成与估计精度，后半段讨论连续时间模型的离散计算。判断算法时，需要同时看分布是否正确、误差能否量化，以及计算成本。

本文将 Stochastic Simulation 与 NASODE 的材料重新组织为三个部分：随机数与误差控制、不同抽样方法，以及 SDE 的数值计算。

后文会区分抽样误差、时间离散误差、截断误差与 Markov 链未收敛造成的误差。每个小节附有一个浏览器端数值实验，可直接修改参数。

1. 随机模拟：随机数、估计与误差控制

1.1 伪随机数是怎样生成的

计算机首先产生的通常不是任意分布，而是一串看起来像独立均匀变量的伪随机数

$$ U_1,U_2,\ldots\sim U(0,1). $$

伪随机数生成器是确定性状态机：

$$ s_{n+1}=T(s_n),\qquad U_n=G(s_n). $$

固定随机种子（seed）可以复现实验。长周期只能避免序列过早重复，不能排除相邻输出中的结构。线性同余生成器

$$ x_{n+1}=(ax_n+c)\bmod M,\qquad u_n=x_n/M $$

即使参数使周期达到 $M$，连续点对 $(u_n,u_{n+1})$ 仍可能落在少数平行直线上。一维 Kolmogorov–Smirnov 检验也看不到这种序列相关性。实际计算宜使用成熟数值库的生成器，并保存随机种子、算法和库版本。

对混合型线性同余生成器，Hull–Dobell 条件给出了完整周期的充要条件：

$\gcd(c,M)=1$；
$M$ 的每个素因子都整除 $a-1$；
若 $4\mid M$，则 $4\mid(a-1)$。

这些条件只回答“什么时候回到初始状态”。它们不回答点集在二维或更高维空间是否均匀。对生成器做检查时，应区分三层：一维边际是否均匀、滞后相关是否接近零、高维连续元组是否出现格结构。某个检验没有拒绝均匀性，只表示当前样本没有提供足够反证，并不等于“生成器已被证明随机”。

交互实验：观察伪随机点的结构

修改线性同余生成器的参数，观察相邻点 $(u_n,u_{n+1})$ 是否形成格线。

Seed 乘数 $a$ 增量 $c$ 模数 $M$ 点数

周期长不等于高维点集均匀；尝试把模数改小，格结构会更明显。

从掷硬币理解概率空间、σ-代数与域流

Thu, 14 Jul 2022 17:45:55 +0800

用两次掷硬币和一棵简化股价树，直观解释样本空间、事件、σ-代数、概率测度、随机变量与域流如何刻画可能结果和随时间累积的信息；本文可作为 Mathematical Foundations for Finance: Handbook 第 1 章的通俗版解释。

概率论的形式化语言常显得抽象，因为它同时回答三个不同的问题：哪些结果可能发生，哪些关于结果的问题允许被讨论，以及怎样给这些事件赋予概率。样本空间、σ-代数和概率测度分别承担这三项工作。

1. 从样本空间到事件

考虑连续投掷两次硬币。用 $\mathrm H$ 表示正面，用 $\mathrm T$ 表示反面。一次完整试验的所有可能结果组成样本空间

$$ \Omega = \{\mathrm{HH},\mathrm{HT},\mathrm{TH},\mathrm{TT}\}. $$

样本空间中的一个点 $\omega$ 是一条完整路径。例如，$\omega=\mathrm{HT}$ 表示第一次为正面、第二次为反面。

事件是 $\Omega$ 的一个子集，也可以理解成一个答案为“是”或“否”的问题。例如，

$$ A = \{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\} $$

表示“第一次投掷得到正面”。试验结果为 $\omega$ 时，这个事件发生当且仅当 $\omega\in A$。

集合族

$$ C_1=\{\mathrm{HH},\mathrm{HT}\}, \qquad C_2=\{\mathrm{TH},\mathrm{TT}\} $$

构成 $\Omega$ 的一个划分，因为 $C_1\cap C_2=\varnothing$ 且 $C_1\cup C_2=\Omega$。划分中的每一块代表观察者目前无法进一步区分的一组路径；由这些块及其并集得到的事件，代表观察者能够回答的问题。

更一般地，一族非空集合 $(C_i)_{i\in I}$ 若满足

$$ C_i\cap C_j=\varnothing \quad (i\ne j), \qquad \bigcup_{i\in I}C_i=\Omega, $$

就称为 $\Omega$ 的一个划分。划分越细，观察者能区分的路径越多。

2. 为什么需要 σ-代数

并非任意挑选的一组事件都适合进行概率运算。如果能够讨论事件 $A$，就也应当能够讨论“$A$ 不发生”；如果能够讨论一列事件，也应当能够讨论“其中至少一个发生”。σ-代数把这些封闭性要求写成精确的集合条件。