关系数据理论

Tue, 18 May 2021 19:31:10 +0800

本文是《数据库系统概论》的第6章以及“Database System: The Complete Book”的第三章所作的部分笔记，用以理解数据库设计过程中的关系数据理论。笔者认为，在这些教材中，对于关系数据理论的阐释可被归结为对于以下几个问题的回应：

一个糟糕的数据库设计是什么样的，又会为使用者带来多少麻烦？（问题的引入）
是否存在某些可以遵循的准则，帮助我们设计出“不那么糟糕”的数据库？（规范化理论）
在了解“不那么糟糕的数据库应该是什么样的”之后，我们又能采取哪些措施，让我们在设计数据库时满足这些让数据库运作得更好的条件？（Armstrong公理&模式分解）

预备知识

为了更好地理解下文的内容，读者首先需要掌握关系数据理论中的部分基本概念：

函数依赖(Functional Dependency)

函数依赖：设 R(U) 是属性集U的关系模型, X, Y是U的一个子集, 对于 R(U) 中的任一个关系 r, 不可能存在两个元组在 X 上属性值相同, 而在 Y 上属性值不同。则称 X 函数确定 Y , 或 Y 函数依赖 X ，记作$X \rightarrow Y$。
完全函数依赖：如果Y函数依赖X，但不依赖X的任何一个真子集，则称Y完全函数依赖X，记作$X \xrightarrow F Y$。
部分函数依赖：如果Y函数依赖X，但依赖于X的任何一个真子集，则称Y部分函数依赖X，记作$X \xrightarrow P Y$。
传递函数依赖：设Z也是U的一个子集。如果X决定Y，Y决定Z，且Y不决定X，那么称Z对X传递函数依赖，记作$X \xrightarrow {传递} Y$。

码/键(Key)

候选码：设属性集U包含关系模式内所有可能的属性值，K是U的子集，若$K\xrightarrow F U$，则称K为候选码（K是一个集合！）
主码：候选码若有多个，则选定其中的一个，称为主码。
超码：对于属性集U，候选码K，若$K\xrightarrow P U$，则称K为超码。
主属性/非主属性：包含在任何一个候选码的属性都叫主属性，其他都叫非主属性。

范式（Normal Form）

对于范式的概念，特别不靠谱的理解如下：

第一范式(1NF)：不能出现类似excel中合并单元格的那种情形？（要求一个关系中的所有字段值都是不可分解的原子值）
第二范式(2NF)：在满足1NF的基础上，还需要满足：在其他非主属性与主键的函数依赖关系中，主键集合中是作为一个整体起到函数决定的作用的。反过来说，就是不能出现这样一种情况：主键中的某个主属性仅凭自身便能决定其它的非主属性，而函数决定其它的非主属性主键只有作为包含了（不存在非主属性对主键的部分函数依赖关系）。
第三范式(3NF)：在满足2NF的基础上，对于一个关系内的非主属性，他们能且仅能被主键唯一地表示。换而言之，该关系模式内存在的函数依赖关系都是由主键所决定的。除了这些被主键决定的函数依赖关系之外，非主属性之间必须相互独立，再也不能出现其他的函数依赖关系。
BCNF: 在满足3NF的基础上，将“对于一个关系内的非主属性，他们能且仅能被主键唯一地表示”成了“对于一个关系内的所有属性，他们能且仅能被主键唯一地表示”，所需要满足的条件比3NF更加严格。
第四范式(4NF)：原关系模式中不存在非平凡的多值依赖。

问题的引入——数据异常及规范化理论

当我们在设计数据库时，若我们考虑不当，将过多的要素全部塞进了一张单独的表时，那么后续操作这张表时可能会引发诸多意料之外的异常情况(anomality)，如：

浮点数的取值范围

Tue, 23 Feb 2021 22:58:40 +0800

本文以单精度浮点格式（即C++中的float类型）为例，简要介绍 IEEE754 标准中浮点数的表示方法，以及该表示方法中需要特别注意的部分（即浮点数中的阶码是以移码形式存储的），并基于上述两点，求得单精度浮点数的有效数字的位数以及取值范围。其他类型浮点格式的有效数字位数及取值范围可依此类推。

前置知识

若想了解浮点数在计算机内被如何存储，就必须先了解 IEEE754 标准，which 制定了计算机内浮点数及其运算的标准，被目前几乎所有的计算机所支持。

IEEE754 标准

$$ V=(-1)^s \times M \times 2^E $$

其中，

V 表示所表示的浮点数的实际值
s 为符号位(Sign)，表示该浮点数为正数或负数。若为正数，则 s 取值为0；若为负数，则 s 取值为1 (注：对于数值0的符号位需要特殊处理)
M 为尾数(Mantissa)，是一个二进制小数，用于确定浮点数的精度，以定点数的形式存储在计算机内部（注意：此处的尾数的形式实为1.ffffff，而非0.fffffff，这个特征在下文讨论移码时会被重新提及）
E 为阶码(Exponent)，用于对浮点数进行加权 (!!!注意!!!：阶码的取值可正可负，是一个有符号数，分别代表小数点是向左移还是向右移。出于使用上的便利，在存储阶码时用到了特别的方式，即下文即将提到的移码(Excess-N System) ）

将浮点数的位表示划分为三个字段，并分别对这些值进行编码，便可表示出浮点数的实际值。以单精度浮点格式为例。在单精度浮点格式中，符号位s、阶码E和尾数M的尾数分别为1位、8位和23位，将三者联立便可得到以32位表示出的浮点数，具体形式可参见下图：

图源：Foundations of Computer Science (2018), Behrouz Forouzan

阶码的存储形式——移码 (Excess-N System)

为啥不能用补码存储阶码？

在上文中我们提到，阶码 E 是一个有符号数，用于表示小数点需要向左或向右移动的位数。那么，在存储阶码时，根据此前所学的知识，我们自然会想到以补码 (2’s complement) 的形式存储阶码。

但是，我们在课本上看到的阶码可不是用补码表示的。这是为什么呢？说实话，我不太确定真正的原因，现在能想到的理由如下：以补码表示的阶码会出现一个新的符号位（区别于上文 IEEE754 标准中所提到的符号位s），使得一个浮点数中出现两个符号位：浮点数本身的，以及浮点数阶码前的。这时，如果要对浮点数进行运算或者比较，无法采用整数那样的简单的二进制比较，所以算起来并不方便。

那有啥更好的方法存储阶码？

既然不能用补码，那我们只能另辟蹊径了。回顾用补码表示阶码所产生的问题，可以发现，阶码作为有符号数时具备的符号位是引发麻烦的源头，那么为了方便起见，只能想着除去符号位了。基于这种思想，前人提出了移码(Excess-N System)的存储方式。简单而言，补码在存储阶码时所起到的作用，便是对于作为有符号数的阶码的所有可能取值，分别增加一个特定的值N（即$2^{m_E-1}-1$，也是上文中Excess-N中N的含义），从而将原本所有可能的取值映射到一个新的正数集合。基于该正数集合，我们可以找出与原阶码一一对应的无符号数。通过移码，我们不再需要考虑如何处理原本作为有符号数的阶码所包含的符号位（因为阶码的所有可能取值已经被我们映射到了一个正整数集合）。因此，当我们需要对阶码进行运算或比较时，便可以将这些运算或比较先作用于新的整数集合上，再通过映射的逆操作得到我们所需的阶码值。

等等……上面那个用于增加的值 $2^{m_E-1}-1$ 是啥玩意儿？

至此，移码在阶码存储中的用途便讲得差不多了……不过，我是不是忘了什么？哦，在读上面那段的时候，你可能在想，那个$2^{m_E-1}-1$是啥？简单来说，这是将有符号数的阶码全部映射成正整数的一个比较合适的取值，其中$m_E$ 表示的是存储阶码可用的存储单元的位数，在单精度浮点格式里是8位。

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